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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 j-Af#d^lA  
4m[` jBX  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;#Rm'8  
<j l)G3  
　　1、三角函数本质： ]+q7_\x  
i[mkh%WT  
　　三角函数的本质来源于定义 a d/'lHR!H  
nuF5u  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 u{WYn s>/(  
s'}kG03dl  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 TzEj] VL  
K@-GSW!u  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： }b]f()rP  
m,{SScjM  
　　推导： U?zvI|bGI  
7;6x$Kx1  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 3!uoPksX  
R:O?vQkb  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O^^Cl'6=M  
8Xy jMr2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) _ p)~K  
z\l[.J1%n  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?9w!8J ?  
F&,@L/E  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） SoQg _K  
aOy]-C"T  
　　[1] AC6E\O!  
4@2Sh.y  
　　两角和公式 "wSdl  
/&}) #D  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Gj07Q)zPw  
7'o"Bm<Y  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  5 1O;eU  
K{tw8h-Zs  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB M)CISsL  
${wJ]%SMe  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB g 2-,<9V  
Dd[[R.%  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) LDw]?K3  
= #-h{S  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) /P2B "XMQb  
@ Z  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  MCBI>=^ /]  
8-S-G*DF6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) BA69VNMCk  
V'/o i~  
倍角公式 Wl?'?):"?;  
N;;PP&92  
　　Sin2A=2SinA•CosA "xo@=e  
^P=tDbnfB  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 uoiOK&~  
faUeg1uN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 90h 0aZk  
zeJ'mM1;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 4'6]w{g  
2x0ad@o  
三倍角公式 \Pt6p*[|3  
8 |J'  
　　 >'^t<5-_VO  
Z#/+>Zm08=  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) "wV CbB  
9Cg`,qc  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) X_Cwr  
Hw$rvt@[  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Z! 8c}C*o  
6+($1>  
三倍角公式推导 %r9hxT*jS  
;XS)  
　　sin3a *ek0-l`  
RZv Wi%R"  
　　=sin(2a+a) t"Un^CjR  
M&KI@k 7bX  
　　=sin2acosa+cos2asina #Q6!a_~  
N50rf]Z <*  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina MQQdL  
`8 fpx  
　　=3sina-4sin³a ~H>:Onm  
\5Zf-09x  
　　cos3a gE m|I  
J)3RR"/  
　　=cos(2a+a) (T0mj!K  
! u:\ GD:  
　　=cos2acosa-sin2asina 2PHoY?XcE  
H% lMe32  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 4}~"t $<  
0]U02jOE  
　　=4cos³a-3cosa |HYG{{ :  
%U(K&$;+Dj  
　　sin3a=3sina-4sin³a +QORC~'m  
!q>v{  
　　=4sina(3/4-sin²a) w/Q}E0R4  
`-GC:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] F#^Cru)  
Gb4QQ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U?J9VdCkO  
pG o'K5:K9  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) fP9Q},q  
DhV8ZxP  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  O2%p0  
@.u( D9,4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) hw5|m+o 5  
zpNUvQT  
　　cos3a=4cos³a-3cosa w0S@kP(  
D= bK`w.h  
　　=4cosa(cos²a-3/4) e/&rQ8fj  
1':J  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] <<[9'k9n3[  
}iT9e1gX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) s]~UPR^wn1  
syhnD  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 1 bJroo\  
ek[eOfZV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} r=](s:t  
7&}uu (+  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }?^n:w?U  
K7CiTB~?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] oH}]2z"3  
c?qfzNZ`  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] I$D"}xLEA  
78&;1g#Zy  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) cwqi aFY2  
_+)[Y4z3  
　　上述两式相比可得 $lkt0[z?x  
wiq?)LH`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) q8H+7Z`C  
3~S3 JD-"  
半角公式 jy~8|W0v  
 9I Ry  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); UOEF7A(x  
d:L)3d*zf  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Badj 6G"  
Y U2#  
和差化积 d3{c0|Qz  
WD zj 5'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] DW!MZFt  
]\QXAB0qo  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0Iv.0u*9  
HkR(dd^Q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (y?;^nm<  
<i+/$.0  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Oq'E(  
=}m8I9\bk  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -<*{!/)8  
Y*N Z _r  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /eH8:[Lq  
@=kAG!  
积化和差 o8F)-$ dg  
h8y F-6  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xYNFho2vvl  
b{&QlxVt{t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vVQ8 0-q  
=+{@t+V)  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 3B/=T&iv@[  
Z4t|tPt  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] fadS~o  
XZVzeG+j  
诱导公式 ZpA )5wV  
k%}~em\m  
　　sin(-α) = -sinα M'i1e\z  
ayL LX!Hg  
　　cos(-α) = cosα 5\nStx+(/  
;[neF  
　　sin(π/2-α) = cosα -4oVIlg 8  
^< U}i*&ch  
　　cos(π/2-α) = sinα -o|eK8e+  
Mf{ ~m#1  
　　sin(π/2+α) = cosα YovLrjz^m  
*jf+I,Q-g  
　　cos(π/2+α) = -sinα 5(s,`  
% f/ rm  
　　sin(π-α) = sinα Z0{Y.MU!/  
F@6d#T>Y  
　　cos(π-α) = -cosα $3]] FwHYq  
U*"r9&  
　　sin(π+α) = -sinα "z8 1,T  
{ZH>]K  
　　cos(π+α) = -cosα Sz| 8l,  
@tw u|YPsM  
　　tanA= sinA/cosA {OHlpITs0!  
HWVt #Y  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~4R4 DX&  
~#2gj% `  
　　tan（π/2－α）＝cotα .j# U0z:  
YbG;BUa a  
　　tan（π－α）＝－tanα bi[^ C.W  
iu"?ENm  
　　tan（π＋α）＝tanα 16 17X>@  
Qx<n?AZmb  
万能公式 MjFs. &  
,>Z4l{:g  
　　 .4X d{ ijX  
RlY[ 8?  
其它公式 nJpQ/ DU  
r]YuuY$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Zn<VWp:H  
9eaD5cE~3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 B w0l\8M~  
sDR|2>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 G9@2@K{  
'tSznY  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4><e:yK  
)xKMbov6  
　　对于任意非直角三角形,总有 a_(1Ru~  
l@,^5H%   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :pdIOSHd  
^S<u T6  
　　证: {M0{g-A,_  
Rv^D>ysRh  
　　A+B=π-C `K_DV{=L  
AN9hf0G|  
　　tan(A+B)=tan(π-C) xK/5[~X  
"[&CF3K{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) y ^p^Zj  
m|.W/v(  
　　整理可得 2` aPaKB'  
W2S bI  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K/Qh   
HBK#+^ut  
　　得证 i|3JZ-7#  
vC  c`K  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H8E>eWkNU>  
T2 |I;o5h  
其他非重点三角函数 nL[l|Du  
Td$xKhPG  
　　csc(a) = 1/sin(a) 7sX`@@  
lt&K D}  
　　sec(a) = 1/cos(a) J?FVZ;kU  
%)0Zn  
　　 }[4wt>p  
o[y's+Z)  
双曲函数 cE%T(BOA  
1oOO:_Cu  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]Y]+ry  
3&iz8bt.  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 N&6 6a"7G  
Qn c@r!<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4 5 aSX  
-l#u:%ql  
　　公式一： rtp+ DIDW  
0})3k5xFH  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： afS "^  
\qp{+1)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα rM5t$J{V  
; y^HFx%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 026I{Zgmf^  
ka+q D;l-  
　　tan（kπ＋α）= tanα bJ#<]Fd0k  
.m{LF+`b*  
　　cot（kπ＋α）= cotα v"D7E&  
{jNkuJE~  
　　公式二： cH4(f:CgS  
dQsSkQLfZ  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `90k"V  
7h20Rz-J  
　　sin（π＋α）= -sinα &8u):  
WbTtC umk  
　　cos（π＋α）= -cosα ~) 1#V9c^  
<o`uJ  
　　tan（π＋α）= tanα |Od 3r?;T  
A0=z6f3i  
　　cot（π＋α）= cotα WD5U>O3  
5n=E bQ  
　　公式三： 4h\dQ<  
,Ok2Y8FMS  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 'Ax'GloD  
Ujy#AK  
　　sin（-α）= -sinα !5=DB  
h?r(jtP]  
　　cos（-α）= cosα dM%"zM{#  
z, >d :w  
　　tan（-α）= -tanα ( D9Jpp/  
^Zz d~!Y?  
　　cot（-α）= -cotα e{5?/rO  
&]_QzO;B  
　　公式四： K5-]T;5  
Qb[r6m-  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *"MJ|[l  
={m%=r  
　　sin（π-α）= sinα (_uD;8Z  
%xu *!X  
　　cos（π-α）= -cosα Mj7{ S  
'?NT:< mz  
　　tan（π-α）= -tanα EJJQ%|{  
-=a08$v2  
　　cot（π-α）= -cotα uMG1DE{  
f_BWQH=u  
　　公式五： (\S;+)X-}  
)cU\!tx  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `eVRAU&TG  
-hVlJb.\  
　　sin（2π-α）= -sinα QWz`^N>BU  
oV?K OUb  
　　cos（2π-α）= cosα 3_.30n9  
XjvO)M!&C  
　　tan（2π-α）= -tanα =v .G"f>WG  
}jg<9b|  
　　cot（2π-α）= -cotα u6ICM ~  
)JIQ&'HD:  
　　公式六： ;}*Y2w  
0t/~n_zF=  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： vbN O;  
1(Lq z'eW%  
　　sin（π/2+α）= cosα *N{]Rv,e  
A2::+q d  
　　cos（π/2+α）= -sinα a$I~nI'8  
)S>ZB&  
　　tan（π/2+α）= -cotα 1=a5,*uc  
VMG.oW  
　　cot（π/2+α）= -tanα 'Ytql(O{5  
X}ac"dU_  
　　sin（π/2-α）= cosα _71#yB<X  
Ou*CG|#vBe  
　　cos（π/2-α）= sinα j %1Qqu$  
iK OWG6t  
　　tan（π/2-α）= cotα G0(>DXl  
W|G @`1  
　　cot（π/2-α）= tanα %'>G2@OF5  
mLgJZ)w]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα kH-$=U)  
,\sLV) P1  
　　cos（3π/2+α）= sinα `h C&SV  
or l>c]z  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 5`HYkgDi  
t'B(sl`Z,  
　　cot（3π/2+α）= -tanα xAs{>M6 -:  
mM,h*RK  
　　sin（3π/2-α）= -cosα LKn>^]/7  
r$'V +S  
　　cos（3π/2-α）= -sinα } gy  
:tq|;!$HF-  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9Z&J 5q  
1p;$b_hZk  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]7p!j%s  
sacmJYF  
　　(以上k∈Z) HY=\T-xw  
9pE2MHp0?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .B|%,Ad  
qaW(CZ_-v  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = UZ,{/+d<`f  
htNuweCh<  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6bOcM8B  
1'r[#D]p$  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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