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2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 (9 2F\or  
C(^C2,D  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9s6r@E!P  
lCtZw^cWy1  
  1、三角函数本质: Nf awSN  
! ED  
  三角函数的本质来源于定义 WO'!Q<L  
Y$@zj UA  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Z PzBQ9"g  
NsqY_6om  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 @cP!!7dG3k  
ua+(<i^e[  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ]_))yD-D  
p]?n9 .9  
  推导: U~}4E  
q0,_2c_<  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 aN+9t^O  
ZjTPa_FV  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) /"T}>C  
L@0mut#:  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 8r`:B6J6  
eDjPlTuV  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 H6<qp_W0l  
t%&VK:  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) :^huVuQ  
<'Rm _h  
  [1] uu,Vhlb@  
EX-'%z"%  
  两角和公式 q?6NMc t  
bZ8Z.?N!;  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB wo7qGPVr  
t[&:O4z4l  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  OUAW zIb  
yGy5?IY   
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB rWyFtI  
xjr1 L9*,  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB e:DA&dGj  
=t<P)47V  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7N7+, k  
F: .8o  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jPp h+TyA  
@g ?z-2uH  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5L4;:U,7  
wi}n Y.?  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) kdRl1X&#  
",R/Sr)Hs  
倍角公式 VLWfE~,Y  
hT[['Tm  
  Sin2A=2SinA•CosA h|Bl]K>i  
w90#Pyc?  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8 4&F.X  
)P~I9EFZ  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) !W[_|N8k  
X^H@.y8:P  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) _!egF]ez  
Vw|n;Vae  
三倍角公式 :k+Q](  
ztiyrd2yc  
   $B.2qxUvo  
27 &}rz}  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) p O9TAM p  
:$=bv*`I  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ZDqFWO -  
.L 81q,  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) T[fPI /~GI  
,rk |/{@0&  
三倍角公式推导 fh'/j>[hE  
j-l_3 ?!  
  sin3a ~`uL q -  
9)E tRM;X  
  =sin(2a+a) Hx#\AG~   
7 "^<9~p&  
  =sin2acosa+cos2asina b{xBRtMb  
R1@%lA/ v  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina (uR7[Z  
Oi%"P  
  =3sina-4sin³a 2O+`hGC?  
Dlc"D~$.  
  cos3a :.80.Dw  
-l'CM/ i<9  
  =cos(2a+a) mF,G's  
/+HAOh  
  =cos2acosa-sin2asina l{?zQB$-{  
G7d pW1)  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  :+>{9E  
lC)bpDl%  
  =4cos³a-3cosa _$EB9D2{  
;m S k>P  
  sin3a=3sina-4sin³a D<7#z  
4K./=5Cj  
  =4sina(3/4-sin²a) nAUT5J9CV  
rRt=/96  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] ?"TMg#{  
2'?AD H  
  =4sina(sin²60°-sin²a) eZ=&Y*  
=/1mKPy#[  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) L/C-SAp5  
v6ew|Er0Q  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 90P C;o:   
U$P`$!CR4  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) D <OAM  
Ko*Um'/cy  
  cos3a=4cos³a-3cosa }Tl\U Ph@  
=hHf :*  
  =4cosa(cos²a-3/4) 4?ZVT`9  
dt41r9eR  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] LavI iY5UA  
h/\ d9  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) Fp3tL,Z,N  
{*Ut7 }4|  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .?6vrqH^B  
OGc<%('tuo  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} mH{=$6 YS  
_O0VU2T>s  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2;X;5C  
)a6Pd|)  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] AXZ >5.  
|cYcD %]  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] JmxMx7j  
41Mxwe 0  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ZlV<{UtT  
v[}2N\)"  
  上述两式相比可得 ;}+5nc  
AM*mk,41  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) GaXgO?p/0  
| a96  
半角公式 +ll|dy  
~JE#ad6C  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); f*. J2^9'  
aFJ*qO A  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QPl'` 7vSu  
T+Dukf1XCt  
和差化积 ePuf *s P  
:MR7%8I  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hKT6g5J[  
K"e=<3  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] J/eTF T|  
Gr$oyoIo  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >)8j"  
) T)^HQX  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !z){USS  
2oMAw, O=  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) FP41I56  
\(V`YW7  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y) K,fP  
,Ws!_3  
积化和差 N^[Y*bF  
+r"H\`.Z5y  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] v] 0), $>8  
V7<Nb3  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xT9rnW^o  
)Gj`@*U  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ,U;1pd9^  
dp?80H|^^  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] hV|Yl1NR  
Aot| #  
诱导公式 Hv<Wdjz`  
|i~Zpo o  
  sin(-α) = -sinα 3_4dFpuF_  
:|w_ *uP  
  cos(-α) = cosα 9#X) 8P 0  
CGE<;23'Q  
  sin(π/2-α) = cosα ;*rjW\:O  
o7("M)pj  
  cos(π/2-α) = sinα OlLxo@@MW  
/5C.1G]  
  sin(π/2+α) = cosα #A] :as  
 3eT*Y82  
  cos(π/2+α) = -sinα ;Zt!d\u  
,'L]tcqC  
  sin(π-α) = sinα &cI{dk8*  
'0H2u  
  cos(π-α) = -cosα HIAw9oEP  
.Gr?.6(D  
  sin(π+α) = -sinα 1lbNV7T  
n,GNMt4#K  
  cos(π+α) = -cosα vQ T~t  
|$^!2/;Hn  
  tanA= sinA/cosA EQ7Fq$  
s/P'@JAis  
  tan(π/2+α)=-cotα ) B?P.`B  
' Cfom e  
  tan(π/2-α)=cotα Q1Hom0``C  
T-Av Ws  
  tan(π-α)=-tanα rA[._2f  
4B o2_Y  
  tan(π+α)=tanα `iK**= ,<  
ls~Z@^7  
万能公式 \8rn*6m3  
%"l5C_RG  
   +T+E]Rae9$  
2V{ 5J=q  
其它公式 + &-&t7f  
ep-)R  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 W|tU KC  
*1p&`f#y  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 B86|xIU  
{_A~c-LW=  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 mZf/EB  
+^i*~d$  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 E>W@p`w  
N{3[@0,  
  对于任意非直角三角形,总有 {29nF ^5  
riaago"P!i  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nCahOT{?  
m|c&e!ZvD  
  证: soH{,  
A`I1:c1  
  A+B=π-C !)Z5M(FZ  
(_ICDFDT  
  tan(A+B)=tan(π-C) M"vu[ I1  
%= jN^GkO  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &GeB&u(  
xW{&x  
  整理可得 8ykB|Q  
yIK:\O3V  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC hd?f[>6;^  
M2m6NR W^  
  得证 & *F 5wB.k  
@Sw{\uA{  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 z5\c'%]  
GI`n~bao  
其他非重点三角函数 4UK_GWf  
w %J:<KFO  
  csc(a) = 1/sin(a) 8}Z"gvu@0  
cRH Y&(  
  sec(a) = 1/cos(a) ?pFcU{sk  
~qQL 0G.  
   TV$9  
DW5Sr_@Q  
双曲函数 dG_o47KYP  
ht @Cf "  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 HA`H i=^  
^qVb_aH<L  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [#W<B+eX  
gkmBH  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) YO5tJsLp  
?TK: #OK  
  公式一: XIOr]O:-M  
.|:&E>Or  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: *{?S,Iy  
f&r Ia.  
  sin(2kπ+α)= sinα O0c_cq  
5_-tZDVt  
  cos(2kπ+α)= cosα )]@A#j@H=  
h;o10]v  
  tan(kπ+α)= tanα t^0abR}  
}dDbvC&  
  cot(kπ+α)= cotα #DBmr/"  
1;9sGX  
  公式二: ~JW#Y3w'H  
r@)ad,C/f  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: '-mvRo.x  
i@ulIV'\  
  sin(π+α)= -sinα 1:Z5a5~  
/e=vX8N(  
  cos(π+α)= -cosα 7s4) )g'7  
%8]dzGDx  
  tan(π+α)= tanα NKYHSKp:  
1 00z  
  cot(π+α)= cotα u/eU"jL~  
(-@EjhI!  
  公式三: ;7_cm` \.*  
' MwI|Dkx  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: DHuJX*a'  
J\C-L Yl*  
  sin(-α)= -sinα -p}$P A]v  
BCN Y?$:  
  cos(-α)= cosα r-fftK^F6Y  
0g5C#^  
  tan(-α)= -tanα a(>#-< ?F  
YP./RFPhY  
  cot(-α)= -cotα m^BkDC  
-bG'3'Z8`  
  公式四: 2^}CFxD6C2  
E!9_Rrx  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: c4bN \l  
SI##Z3H0  
  sin(π-α)= sinα $s k; keS  
}.wPCX~/  
  cos(π-α)= -cosα aT56L&0{  
"BZxP U  
  tan(π-α)= -tanα U 9SSdC'  
u b_w' :~  
  cot(π-α)= -cotα ! ^JE+3I45  
.7p|VtArE  
  公式五: 1%;xL&WJ  
5)A(MR7e  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 3D>PtKz  
SKeJ\n)  
  sin(2π-α)= -sinα `!Ap  
20b9Ts  
  cos(2π-α)= cosα I_66E  
k6\ iH5  
  tan(2π-α)= -tanα A9&PHI%Xa  
$;^n` $  
  cot(2π-α)= -cotα ] *h(yn+  
Qy dlwwvp,  
  公式六: R):;px  
Ow8U  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Pzz1${1q  
+^RwW\'$  
  sin(π/2+α)= cosα Ra#2:{Fq;  
7(9Fu<a  
  cos(π/2+α)= -sinα 8p[Tvo  
mjpVB`h  
  tan(π/2+α)= -cotα CxN3[2e  
,\iWD 6  
  cot(π/2+α)= -tanα {qw9bCK  
4g$Tva4  
  sin(π/2-α)= cosα 0?e9+?i4  
1C0| ]&#  
  cos(π/2-α)= sinα [v^ O||  
.o QF6'"  
  tan(π/2-α)= cotα -a&m   
S;Qzv]T  
  cot(π/2-α)= tanα 9+:iV%)SJ  
1 <9c  
  sin(3π/2+α)= -cosα ZP6]e;%  
(sZ HFx  
  cos(3π/2+α)= sinα @Jo%m3b<  
{q4wXf7y  
  tan(3π/2+α)= -cotα Rp8o~y,  
A(sZmNg\  
  cot(3π/2+α)= -tanα F$8E, Pb  
.\#OCiH8  
  sin(3π/2-α)= -cosα 3jmFQcp$  
X:&MQLSH  
  cos(3π/2-α)= -sinα |g!2i ,Q  
6f$j>i>k  
  tan(3π/2-α)= cotα \N*</2  
&<[mz4  
  cot(3π/2-α)= tanα &aI $kEr#  
WE2./b[Vl  
  (以上k∈Z) IbN1G+Rr  
K^<^\z  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 KyCKdd^Wu  
]L~(RrJu  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1Zg '?,  
=|k'  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } t'UiMF  
*+vWH5,  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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