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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @! :p3  
OiT0Ivc-$M  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. )`H7u;~  
:|=6w ]nC}  
　　1、三角函数本质： >0 &XIE  
dK$+/;3  
　　三角函数的本质来源于定义 3 J(!%'\  
{/$,o{  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PGE4Jjh*|n  
i/w5t P  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 w1*l{-$@  
)e )>7GVX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wX1umH_  
sIawe_6  
　　推导： |t}qo~3k\  
-JXX3!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 VtWEB;if".  
$0o^L|  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) kkyiJ{H1  
j~!*vT Xa+  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) K* 9<rb  
1h{2nW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 -]C{"ro  
M>8i OQD%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]}sqzI _  
*&>B_`-e9U  
　　[1] - %6(]\`~  
w~H^"[^  
　　两角和公式 !1gtD*w  
ySRN($_<s  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Hh fMa'  
w1J>Z|z  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  MHP:W;<^  
I?^[K#Rbq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `.zo2&Qb  
H{PH#-8  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB {X6Aa@!4  
5x!3k"aE  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) "5T0 pT;  
*-;DDY H  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)  U(`z+W  
mDm&~1bDS  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  PbsK  
O#_FB1  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~_=_C +  
!FC{,F`BG  
倍角公式 vV(*e0/:  
R*1"s:\G  
　　Sin2A=2SinA•CosA |9'Q|_)  
=9PREsu${_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 w;@MPpw_4  
"x 54+>C  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） @tC!>UiOD-  
 u$gp  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） |@|Eh2TH  
T=38pgA  
三倍角公式 M)5c/}l//*  
k;3t0c  
　　 xB!B\JO9  
ysB& 4G  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )1%\hmIB&  
y^*pK[0@  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g4,TWl,  
{)xbPEW  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y`4$Ja^O  
E( ~` gDh  
三倍角公式推导 & Ycg41@  
mh(J+R0S  
　　sin3a _+D`  
+_"_^uJC  
　　=sin(2a+a) "0d~e y+h  
0>m|Qv d  
　　=sin2acosa+cos2asina I %$0  
8!~|Of%@  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina o{of Ko  
yq@T$b|  
　　=3sina-4sin³a -.p=<RY  
zW<Q0_-0  
　　cos3a ],h+   
,mUvip'  
　　=cos(2a+a) ]`7^`ZE?U"  
l }?70 M  
　　=cos2acosa-sin2asina T` R@j&zd  
k%6tNZ$AV  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F$07m1"Kmo  
7I'{@   
　　=4cos³a-3cosa +q> 2#!.  
.x9HGfWd^b  
　　sin3a=3sina-4sin³a /m*)Z .+  
uYzSc+I_K  
　　=4sina(3/4-sin²a) {t;|ocxx  
2{-F7f}Z&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] v.E!%&]U  
Kt]o)J ~  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) mB$-WWb0  
@ a\wMAJu}  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) <XFL)  
0 `UJMH$o  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] r8R9Q>4x  
;pwcx$@%s  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) OR:eSs o  
u5';cW  
　　cos3a=4cos³a-3cosa QB;qm m`  
z&w - X0~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) C_>:*7EC  
]C7qm^PZ7z  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] UD'\fe7mb  
*q,3W 6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 8mx N]_:  
6hS]95K  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) fj  !v]DQ  
53XbxQr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #*65w$JW"  
JB{} A^  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Y:\i+lPc  
|9* ha@64  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] t,)4i \qN  
f|"~!p)<P  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] mV4H4<  
*6Y^XjX  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) x%l& BR9v  
MBv1-7*AA  
　　上述两式相比可得 !n=S+Ul"!  
@I,.w  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) $5-s:MpG(g  
-T+d 9^aJ  
半角公式 nnGzF+g  
ER$~b;g \  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0<Ak&t  
j1~J|cPy  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. kuK)g2o  
4qETs=UC/  
和差化积 E7-0Ed8  
vmKD_ZV%  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Z)i!Lq  
LojL#//  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] DTEI`i>Hx  
2q?WKtbP0  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Fs SPj  
~lit^ 1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &Xxb3p;U  
\I8sN@.^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9K7 use  
zc19#pF  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $ c'r S   
}<X^Z!E)  
积化和差 oQ CKh}  
^ )y,lM p  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] C}33p!8J  
v'Go  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] q^Y= Dt8  
<@9xhBrVE  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0x,8YGsdK  
KXz81bAO  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :@*/C  
*p/i hu  
诱导公式 /f,RzmT  
Uo d-SKr  
　　sin(-α) = -sinα ' ~2jZa  
4)m'p ;0T  
　　cos(-α) = cosα X(*9F\LZ?  
wM7hG )@  
　　sin(π/2-α) = cosα "PZ&KQjn@  
.O,])Y~RT  
　　cos(π/2-α) = sinα :MO`J_ch)  
 ^X4~07  
　　sin(π/2+α) = cosα {d8Rg|,&  
fbmNw.  
　　cos(π/2+α) = -sinα nV 8EFI  
&B4r_CaZ&  
　　sin(π-α) = sinα Ei" g^l7  
)?/rtO&H  
　　cos(π-α) = -cosα f)0On5zX  
6Xn6=fR  
　　sin(π+α) = -sinα bkC UuQb+  
v g|K!os  
　　cos(π+α) = -cosα |/VRGz3B  
l N\[`F(FI  
　　tanA= sinA/cosA ;#7}p=)X  
xs%M]j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %.<Sre;gK  
,WZ.~P!5y  
　　tan（π/2－α）＝cotα '"=.dWP=  
caEUSLK46*  
　　tan（π－α）＝－tanα |@Y)C_  
{Jgu@T-  
　　tan（π＋α）＝tanα Ud*x"D/?Q  
VMzGd.9  
万能公式 -$jFi0   
M+:t(m@F  
　　 fU$#h '  
`>!z  
其它公式 Hd^fJm9X  
@*l<Q#  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 fz(r0c  
p]^eEH-!Ip  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 PAsumA|  
&4ef E+qi  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Z{^_A*I  
HqY )vL)v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 60yQ#F@  
&+zTW  
　　对于任意非直角三角形,总有 =m BSY7ND"  
;Q K +P  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^HX@"|  
 V&b9c x  
　　证: EUjp#s2jw  
P<s,~FVn  
　　A+B=π-C kHgQ  
0>QWw427Y  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Y~k]L `  
b31AbEc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p^5Z~yu  
gTbWwS:#<  
　　整理可得 {t&acBZA|  
K/QI7gFe  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~Pgw d  
f<((/[3  
　　得证 h< f/I~  
)\ O.NR  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h^ Hl8()w  
&9BU%=  
其他非重点三角函数 Zzn] K(D+  
_R,OWa/%  
　　csc(a) = 1/sin(a) >x!no?D-  
C?v%ls~j  
　　sec(a) = 1/cos(a) :?0`uP~[  
Cg/O\|  
　　 $_DJ 6P  
'&_NB m  
双曲函数 %n "2<_Iz  
"nMwn6Vv  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 %z-:.HBo  
d`:\_  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 iNW pn3  
\ej<  Z!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) p4q~Hy ycL  
2`WK2B8  
　　公式一： fFhq  
gl; GBq)  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 1F qHgU]'  
O k%E+bAsb  
　　sin（2kπ＋α）= sinα @ ^_Mjz  
1RRDptd{  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8? co&s.  
M Jl$  
　　tan（kπ＋α）= tanα /:[/pf  
k|#X9, d  
　　cot（kπ＋α）= cotα r|:ar  
*v(RTqW  
　　公式二： *w4l!:M  
ZLkF^iQCU  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： jTBh|aBsP  
=?{:~s14  
　　sin（π＋α）= -sinα _$c{Gb'>  
q=7pc  
　　cos（π＋α）= -cosα gW88+z*  
#od7@D~  
　　tan（π＋α）= tanα %@LhJ  
kbJ#  
　　cot（π＋α）= cotα z}AH+$G.  
e$V>}c  
　　公式三： Q5odn ig  
VQ0{hj&F  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 'BJ{+Z)  
~+UiM,uS"  
　　sin（-α）= -sinα _,+l.$|  
H=~ Qjp|E  
　　cos（-α）= cosα m3 4]W)I  
p]tSCg#@  
　　tan（-α）= -tanα  sx 1 m*R  
uq>ay oxSN  
　　cot（-α）= -cotα xvOvmd[  
^lPK {"  
　　公式四： .T}H@}@;8L  
R \ji.ltb  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： <a)YKNx=z  
%$zbO.g  
　　sin（π-α）= sinα Id#~ 3e  
:nD,9.7  
　　cos（π-α）= -cosα $.R `$ f  
1]+i s.|G  
　　tan（π-α）= -tanα H]wc1sqSQ  
VniH/H1  
　　cot（π-α）= -cotα [7}kz&=5  
sq3~?|%#  
　　公式五： ^dLt@DH  
;pLD3o;_  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： md-Wyr#;  
fF<Q{u%  
　　sin（2π-α）= -sinα *t \MW   
+5 eo)?  
　　cos（2π-α）= cosα uZ`c1L+  
LAS:Xv|  
　　tan（2π-α）= -tanα m`' Xj.i  
uM <*[l  
　　cot（2π-α）= -cotα qF_9e%O  
p9!o=nA8Mn  
　　公式六： &aElO!  
oxLqgHD%Do  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ]Yd~U)g  
"*a|y$jx  
　　sin（π/2+α）= cosα a]@5"aD s  
'8sz;=2  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?O:OCs&xp  
 s=Gmh9  
　　tan（π/2+α）= -cotα Amhmn=\  
$;_t~Q'&s  
　　cot（π/2+α）= -tanα +p g NJ]3  
D1dakC  
　　sin（π/2-α）= cosα 9`"1@H C  
=t;Hv"[M  
　　cos（π/2-α）= sinα v8[0BR  
"+T284\Q  
　　tan（π/2-α）= cotα M'WL?o~?\  
mN=:x%Nw0  
　　cot（π/2-α）= tanα bbfoI2s~C  
Mk~8!)A  
　　sin（3π/2+α）= -cosα cHOpF)Q  
ALTvvGx;  
　　cos（3π/2+α）= sinα oP$|@5oLX  
UQoFM8L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα eo=@r{Wo  
z6On 5B{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα TKa^ h=dF  
Lcd i-@  
　　sin（3π/2-α）= -cosα f P])7  
R%,GO{h  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ;YPe, C  
o=fJjzO)  
　　tan（3π/2-α）= cotα ,s-tj,0  
=d^v   
　　cot（3π/2-α）= tanα I| wd(x  
?j7fiWB6  
　　(以上k∈Z) @`<#A.L  
vH^`B@y4x4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 MLO,  
[5br2|eG  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = y+[0 gQ  
=~pd!M*<  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } u<*bPx  
8XnuMAQ5:m  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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