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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 YYIK L|0  
Hv7Mts  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. %S% [eq=  
-Dn `pKvP  
　　1、三角函数本质： TEk1<  
6#\0=\.a[2  
　　三角函数的本质来源于定义 +`c9F|5d  
*TU>a'9.  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1`Nd{'o!C  
|cq D/Sq  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 gF c ~7(  
i5/NI5aRXX  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： '+]~TS~RP  
Z%wh} JuR  
　　推导： C-PEMui3  
]Q~^jw  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 /JKV oIL  
r7c<G%z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \!!YA<Pvt  
Uom/ a<Dh  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pphpYw%ym  
TW, =zo  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 JA-:#Ge6d  
\.a ]nY  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） GIK~_g"s n  
c<#N,lk  
　　[1] Db{<f@  
P /C>ktJ  
　　两角和公式 .FP.c%j  
4[9:@z6V -  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB B"J0O$ vU  
`'*, X  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  S0zn9{s t  
-2S@X  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB at5+ /"$  
>U_PR]e  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?u_QBqt*  
pm 8D  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 13n40UT  
< FK10a&  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qDoi9GSK  
V1L.3Tg H  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4uYA[E3K  
}MbJH,5i  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) (ME$hW^>7  
6zSH11+  
倍角公式 GUSV\RQO%  
5*f2 &K$__  
　　Sin2A=2SinA•CosA "ZE; %sh.  
-9eX UguD  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 hp )sYG-g!  
9 gp#}9  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） J$m EMZsX  
iQJRD$WQ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） qVD&s.)s_  
M*hKsX/Z  
三倍角公式 [ lc"1s0  
n+McTr/.  
　　 L:JB;%DT  
nYDN*0]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lF.MZ!  
VA6\) /330  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]PE_ ^  
gYmNrvM_A  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) z'c0r(J  
pFEgl2Zjx  
三倍角公式推导 *L ,#d(  
ttx'q  
　　sin3a ?5o5{Yx0  
h?TKyTf#  
　　=sin(2a+a) ^ Ovl>Y  
asE#Rzq  
　　=sin2acosa+cos2asina M|M75}l~d  
u)MY ?/zs  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4{$jTln  
\\K];% _  
　　=3sina-4sin³a 9%J0-q'  
ZDpKuL9  
　　cos3a m^Z1UAF@.s  
kv>e/z  
　　=cos(2a+a) a^hq^N  
mk Mrk[  
　　=cos2acosa-sin2asina {8iQ3-OYE  
XT/Z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B|j%(v,|  
wR"'3=z,W  
　　=4cos³a-3cosa >e /uc(s  
(Q|GzH|  
　　sin3a=3sina-4sin³a Ty[=1i`/  
-^`&E9[mq  
　　=4sina(3/4-sin²a) x lLc3T@  
M yW'~7L  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 0WMqDcYaP  
]Eb:);Am7  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) rE^kX6\v]  
+Dp/t1>VR  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) KCSKE U<  
bi-hjV:Ab  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] m-0 +1Z  
;W'QW W4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \zXN0!-  
K 8wL[C2i  
　　cos3a=4cos³a-3cosa &nJG8 <  
503JU`E Y  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eZH|,F%  
|nG0vw  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] J z](?en  
ql>'63y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) #AL<oc1lD  
(:5(M K~v  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) nH!,"{H D  
lrx.y f  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} QPe_r:QG  
GKQE)HdX8  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 92&Xpid)I  
C/{[jCZPL  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _HwwrD$SY  
{q7IfL ^  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _3X>uZ3  
,i{"^NuA  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k](QsY?`%I  
@[@N@mn  
　　上述两式相比可得 g.J&ic$m%  
Ft.kys^5#  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) W1z:$9<`  
,J-L;  
半角公式 qPqh0P({Ux  
"aaEIR  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); f> 1-}zk(  
eb h# F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. xn.GHjat  
-BW'mJE&\  
和差化积 mBzq=np!K}  
tVym+G38#;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] )!EY|4l  
[*[o%Cj  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ">na:I%  
- 'HQv  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Cz[J$%^!v[  
97%zOD]  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9'dzeHX  
F47tgP{J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) mCNg =  
VW|msx{ G  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) s"5XQQ9  
pHx\Z7l  
积化和差 9XMj,DQ  
}2hscvJ~a  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Wq040}k  
sUok0 >uY  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] E1-I ..>  
q:Q pU  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [a?Z _  
MY coHbV  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] bM_o'|_ X  
~*dAVO  
诱导公式 %|M :`yV  
U?T"}Li]  
　　sin(-α) = -sinα K[R_Ur=}  
Tn2S|?? *  
　　cos(-α) = cosα U )zYD"  
n "XFu'  
　　sin(π/2-α) = cosα UsenD(4^$  
^`@\* I  
　　cos(π/2-α) = sinα jF`}sL,  
}EB4fJ7  
　　sin(π/2+α) = cosα 7Ao:wz.  
bGvs} a  
　　cos(π/2+α) = -sinα ^p2@yt5[|  
i[}( F  
　　sin(π-α) = sinα cz XGB5E  
x3,[#~bPk)  
　　cos(π-α) = -cosα ^UL={1wKz  
*',}+Wc1  
　　sin(π+α) = -sinα 1GWUV%hH  
4#[nmcY\B  
　　cos(π+α) = -cosα *iEe;)?V3  
/2ix$FVcF  
　　tanA= sinA/cosA p<=.+#v  
h* }vb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα DMdh U]4|%  
38wuqJ]  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4-dbL4l  
IZ2]~F,T  
　　tan（π－α）＝－tanα p|?)$H(s  
m#X#49x  
　　tan（π＋α）＝tanα 8q5n9[4x  
$ 0m&B+~dh  
万能公式 vN @re  
A[4`5RU EB  
　　 .%4uhzl`  
UeDC>!S  
其它公式 "4|3d0  
usX3p,\  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 uAGax!  
;~H^L  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 =% _'KV  
2:w^Y o6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 { (/ 9  
 g x^!  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qb>6'l$  
5$:nt~f7a]  
　　对于任意非直角三角形,总有 t3h<T#[k  
-_MB"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s9Nx@:k`0:  
I^BOlq @  
　　证: 9AK]$[.  
#-[C Dm  
　　A+B=π-C d_0%]vw>  
3HSc$ShC  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8pSy:&)@1  
@Tt$J*]Q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) @bs 3ScOe  
v8=eIKG*  
　　整理可得 !^-p8<SI9  
B,0G L!"  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jF=!\.  
`g.U! <1  
　　得证 j"w=<O/_wt  
z4T5y,o0  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <ahD_ ;3  
'/$^kY>{  
其他非重点三角函数 ]\mRWR]l\!  
]rbf9 :0w]  
　　csc(a) = 1/sin(a) `nC3=g  
>>`In |  
　　sec(a) = 1/cos(a) r.c~9gJy  
V'>0=adj  
　　 e3#\zc64  
{D<|4   
双曲函数 XK]sZ8^?P  
Wry:wYz#7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 oK9ybkp V  
:TEgEWAD  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _!_#au.`/  
29 2pjp  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "PgBJv  
L@.<cj:  
　　公式一： zHM J$  
Ub(+#a|u  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： b;nOR8M#"  
$r4q,5|#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα D0-/bZfy  
))u($;C6B  
　　cos（2kπ＋α）= cosα @<Bc-07|`)  
~CB_&ix%  
　　tan（kπ＋α）= tanα %,Uq}  
`7i{#P8  
　　cot（kπ＋α）= cotα KHh$.[C  
W=wG~9v  
　　公式二： I]"Z3 7m\  
pgG'- E  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 6[ :XKq  
Q%nj\u  
　　sin（π＋α）= -sinα IL&$La_Z  
6s)pbD~  
　　cos（π＋α）= -cosα %_H=F"M!@  
JM3gCv;1\  
　　tan（π＋α）= tanα ,7S32a6 GO  
1jX<VI=j  
　　cot（π＋α）= cotα M , [  
vv:-S5VF=  
　　公式三： _Tp<k0  
6_ !x*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Qm}L<fQ  
qJ?~-`:K  
　　sin（-α）= -sinα 6o5T)   
(rY _p<o  
　　cos（-α）= cosα ;[F`L;dLZ  
O6Ap>1 M  
　　tan（-α）= -tanα BQQ8|L@Bh  
`$%/;NsWa  
　　cot（-α）= -cotα G ,_wg  
'&vs;";2  
　　公式四： Ol\9P"G4,  
x~xeI9"U  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： egs,Ygq  
{K!|^k]"k  
　　sin（π-α）= sinα xZ _twH?E  
4bD)/Z  
　　cos（π-α）= -cosα :27=36M6}  
!?P%ApI 7  
　　tan（π-α）= -tanα )0E/r\ L  
>[C;hE~n  
　　cot（π-α）= -cotα nOt^g6~  
LT3dYM  
　　公式五： EQ]UV2N\j  
&8^L8O#f  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Z_?Gf#F_(  
-u]A {Z:x  
　　sin（2π-α）= -sinα 7-'1d/\  
E\+xzp 2U  
　　cos（2π-α）= cosα ]G\J !a5u  
h)Rw{A #  
　　tan（2π-α）= -tanα aE3s ;"  
} ?>oFn%i  
　　cot（2π-α）= -cotα [NtD+%<!  
u =yG   
　　公式六： |j2`=[QPI>  
E\f H  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：  &#@k"*Ko  
0AdR#MQET  
　　sin（π/2+α）= cosα ck At9K :  
JJk~I:tu,  
　　cos（π/2+α）= -sinα <j n9DElf  
|3[{I@  
　　tan（π/2+α）= -cotα gQPRsz:>  
>7P{y: v|v  
　　cot（π/2+α）= -tanα \]{ ZH!cJ  
?XHZ`&u~  
　　sin（π/2-α）= cosα OR`VC62ilp  
Pr Ent4f  
　　cos（π/2-α）= sinα 1 j>>  
Kjg?8.a,A+  
　　tan（π/2-α）= cotα [#-J  
7$gB@5<!  
　　cot（π/2-α）= tanα %LJq;>1}  
KCKi#^u  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 7mY4~oc%  
:\`xq !  
　　cos（3π/2+α）= sinα MXQyQ@k  
W;:,nz  
　　tan（3π/2+α）= -cotα A$,X-m0  
[e@)&$[*{2  
　　cot（3π/2+α）= -tanα NV,<)O-@  
qt!5R a(|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα MjxM7  
0k}QaK2/  
　　cos（3π/2-α）= -sinα : 14y@^Yl  
2fy/v<_ 3  
　　tan（3π/2-α）= cotα #O?@ad<6  
.`,/LVx -  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,NlebnDaa&  
J4o.+*(&S  
　　(以上k∈Z)  ![rJv  
{N# g,p\n/  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 UIZ.<3F  
VcEnP^F  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5evK_sjS7  
V~~d 81D8  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } E6qDk ;  
O%f(4J4.L  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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